流体力学の基本保存則

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ここでは、流体力学における保存則について書きます。

まず、準備段階として、ある領域\(\mathscr{V}\)を考えて、その表面(境界)を\(S\)とします。

この領域\(\mathscr{V}\)内の質量、運動量、エネルギーは、それぞれ、

$$質量=\int_\mathscr{V}ρd\mathscr{V}$$

$$運動量=\int_\mathscr{V}ρ\boldsymbol{V}d\mathscr{V}$$

$$エネルギー=\int_\mathscr{V}ρ\left(e+\frac{1}{2}V^2\right)d\mathscr{V}$$

と表されます。

ただし、

\(ρ:\)流体の密度

\(\boldsymbol{V}:\)流体の速度

\(e:\)単位質量当たりの内部エネルギー

です。

 

質量流速の不均衡があれば、領域\(\mathscr{V}\)内の質量は時間とともに変化して、

$$\frac{d}{dt}(質量)=\frac{d}{dt}\int_\mathscr{V}ρd\mathscr{V}=-\int_Sρ\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n}dS$$

となります。つまり、直観的な説明をすると、領域外から領域内へ向かう流れが多ければ(\(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n}\)が負である箇所が多ければ)領域\(\mathscr{V}\)内の質量は増加して、逆に、領域内から領域外へ向かう流れが多ければ(\(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n}\)が正である箇所が多ければ)領域\(\mathscr{V}\)内の質量は減少します。

 

これと同様のことが運動量、エネルギーにおいて言えて、

$$\frac{d}{dt}(運動量)=\frac{d}{dt}\int_\mathscr{V}ρ\boldsymbol{V}d\mathscr{V}=-\int_Sρ\boldsymbol{V}(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})dS$$

$$\scriptsize{\frac{d}{dt}(エネルギー)=\frac{d}{dt}\int_\mathscr{V}ρ\left(e+\frac{1}{2}V^2\right)d\mathscr{V}=-\int_Sρ\left(e+\frac{1}{2}V^2\right)\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n}dS}$$

となります。

 

運動量は外力によって変化しますので、領域\(\mathscr{V}\)に作用する外力が圧力によるものだけだと仮定すると、

$$\scriptsize{\left(\frac{d}{dt}(運動量)=\right)\frac{d}{dt}\int_\mathscr{V}ρ\boldsymbol{V}d\mathscr{V}=-\int_S\left[ρ\boldsymbol{V}(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})+p\boldsymbol{V}\right]dS}$$

また、圧力による力は仕事として領域内のエネルギーも変化させるので、

$$\scriptsize{\left(\frac{d}{dt}(エネルギー)=\right)\frac{d}{dt}\int_\mathscr{V}ρ\left(e+\frac{1}{2}V^2\right)d\mathscr{V}\\=-\int_S\left[ρ\left(e+\frac{1}{2}V^2\right)\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n}+p\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{V}\right]dS}$$

 

 

さて、

 

のような閉曲面を取ってみます。翼型\(S_B\)と十分遠くにある\(S_C\)に囲まれた領域です。

ここで、この領域内の流れが定常であるとすると、式2-8の左辺は、\(\frac{d}{dt}\int_\mathscr{V}ρ\boldsymbol{V}d\mathscr{V}=\boldsymbol{0}\)です。一方、右辺の境界面を\(S_B\)と\(S_C\)に分けて書くと、

$$\scriptsize{\boldsymbol{0}=-\int_{S_B}\left[ρ\boldsymbol{V}(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})+p\boldsymbol{n}\right]dS_B-\int_{S_C}\left[ρ\boldsymbol{V}(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})+p\boldsymbol{n}\right]dS_C}$$

となります。翼型\(S_B\)上の流速は翼型に接する方向にしか速度を持たないので、\(S_B\)における\(\vec{V}\cdot\vec{n}\)は\(0\)。したがって、

$$\boldsymbol{0}=-\int_{S_B}p\boldsymbol{n}dS_B-\int_{S_C}\left[ρ\boldsymbol{V}(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})+p\boldsymbol{n}\right]dS_C$$

となり、

翼型に働く力は、

$$\boldsymbol{F_B}=\int_{S_B}p\boldsymbol{n}dS_B=-\int_{S_C}\left[ρ\boldsymbol{V}(\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{n})+p\boldsymbol{n}\right]dS_C$$

と表せます。

これが何を表しているのかというと、翼型から十分離れた境界面\(S_C\)の密度、速度、圧力を測れば、翼型に働いている力を推定できるということです。